petit exercice de balistique théorique

Je viens de m’amuser à refaire le problème de maths que j’avais eu à résoudre le jour de l’oral du bac.

Il s’agit d’un problème de balistique théorique très simple :
- poser l’équation du mouvement d’un projectile d’artillerie dans le vide
- puis déterminer pour quelle valeur d’angle du tube sur l’horizontale on obtient la portée maximale théorique.

Si on se met dans un repère avec un axe horizontal (portées) X et un axe vertical (altitude) Z, en tirant avec un angle A au-dessus de l’horizontale à une vitesse Vo et dans un champ de gravité où l’accélération de la gravité est G, avec une variable temps T, l’équation théorique du projectile en X et en Z est :

X = Xo + Vo . T . cos A
Z = Zo + Vo . T . sin A – ½ G. T puissance 2

Si pour simplifier, on cale le repère avec le lanceur en Zo = 0 et Xo = 0, ça devient :

X = Vo .T . cos A
Z = Vo. T . sin A – ½ G. T puissance 2

La portée (X) correspond au deuxième endroit où Z = 0 (le projectile touche alors le sol).

Pour avoir le point où l’altitude redevient nulle (Z = 0), il faut que :

Vo . T . sin A – ½ G. T puissance 2 = 0
Soit T [ Vo . sin A – ½ G . T] = 0

En simplifiant par T :
Vo . sin A – ½ G . T = 0

Et :
T = 2 . Vo . sin A / G

Pour cette valeur de T, on a atteint la portée suivante :

X = Vo . T . cos A = 2 . Vo puissance 2 . sin A . cos A / G

Or (formule de trigonométrie classique) : 2 . sin A. cos A = sin 2A

Et X devient :

X = sin 2 A . Vo2

Cette valeur (portée) est maximum lorsque sin 2A est maximum.

Un sinus ne peut jamais est plus grand que 1 ; cette valeur maximum est atteinte lorsque l’angle correspondant (2.A) est de 90°.

Et lorsque 2A =90°, l’angle A a la moitié de cette valeur soit 45°.

La portée maximum théorique dans le vide est donc nte lorsque A = 45° et vaut Xmax = Vo puissance 2 / G.

Attention ce résultat n’est parfaitement exact que pour une trajectoire dans le vide (pas de résistance de l’air).

C’est pourquoi, pour les carabines, la portée maximale est atteinte vers 30° compte tenu de la résistance de l’air.

Et sur les matériels plus lourds dont les projectiles ont un meilleur aérodynamisme, la portée maximum dans l'air est atteinte un petit poil en dessous de 45° (vers 780 / 790 millièmes d’angle).

jacquemet a écrit:
Si on se met dans un repère avec un axe horizontal (portées) X et un axe vertical (altitude) Z, en tirant avec un angle A au-dessus de l’horizontale à une vitesse Vo et dans un champ de gravité où l’accélération de la gravité est G, avec une variable temps T, l’équation théorique du projectile en X et en Z est :
X = Xo + Vo . T . cos A
Z = Zo + Vo . T . sin A – ½ G. T puissance 2
Si pour simplifier, on cale le repère avec le lanceur en Zo = 0 et Xo = 0, ça devient :
X = Vo .T . cos A
Z = Vo. T . sin A – ½ G. T puissance 2
La portée (X) correspond au deuxième endroit où Z = 0 (le projectile touche alors le sol).
Pour avoir le point où l’altitude redevient nulle (Z = 0), il faut que :
Vo . T . sin A – ½ G. T puissance 2 = 0
Soit T [ Vo . sin A – ½ G . T] = 0
En simplifiant par T :
Vo . sin A – ½ G . T = 0
Et :
T = 2 . Vo . sin A / G
Pour cette valeur de T, on a atteint la portée suivante :
X = Vo . T . cos A = 2 . Vo puissance 2 . sin A . cos A / G
Or (formule de trigonométrie classique) : 2 . sin A. cos A = sin 2A
Et X devient :
X = sin 2 A . Vo2
Cette valeur (portée) est maximum lorsque sin 2A est maximum.
Un sinus ne peut jamais est plus grand que 1 ; cette valeur maximum est atteinte lorsque l’angle correspondant (2.A) est de 90°.
Et lorsque 2A =90°, l’angle A a la moitié de cette valeur soit 45°.
La portée maximum théorique dans le vide est donc nte lorsque A = 45° et vaut Xmax = Vo puissance 2 / G.
Attention ce résultat n’est parfaitement exact que pour une trajectoire dans le vide (pas de résistance de l’air).
C’est pourquoi, pour les carabines, la portée maximale est atteinte vers 30° compte tenu de la résistance de l’air.
Et sur les matériels plus lourds dont les projectiles ont un meilleur aérodynamisme, la portée maximum dans l'air est atteinte un petit poil en dessous de 45° (vers 780 / 790 millièmes d’angle).

il le fait pour les hommes (avec des images)
Bonne journée
P.L

je pensais qu'en terme de portée maxi ,l'angle ideal etait toujours 45 degrés cf: l'alidade de tir verticale du famas au flg

hecate127 a écrit:je pensais qu'en terme de portée maxi ,l'angle ideal etait toujours 45 degrés cf: l'alidade de tir verticale du famas au flg

Oui, c'est bien 45° en théorie.

Mais en pratique, avec les effets de la résistance de l'air, on perd un peu dans les très gros calibres (155mm) pour arriver vers 780/790 millièmes (44° environ) et pour les carabines dont l'aérodynamisme des balles est moins bon et qui en plus ont des trajectoires dans la partie la plus basse de l'atmosphère (donc la plus dense), c'est entre 30 et 35° en général.